Questo libro è stato scritto per un corso di metodi analitici delle equazioni alle derivate parziali (EDP), che si tiene al Politecnico di Milano per il corso di studi in ingegneria matematica. Si tratta di un primo modulo di introduzione alle EDP, di 5 crediti, pensato anche in vista di un successivo modulo di metodi numerici per le EDP. Gli argomenti trattati comprendono anzitutto un'introduzione ai modelli più classici: le equazioni di Poisson, del calore, del trasporto lineare, delle onde. Attraverso queste equazioni si toccano molte idee di base delle EDP, trattando sia il punto di vista dei modelli fisici, sia lo studio delle proprietà matematiche di base delle equazioni (problemi ben posti, principi di massimo, proprietà di media, linee caratteristiche, regolarizzazione o meno di un'equazione...), sia le tecniche classiche di risoluzione esplicita dei problemi considerati (separazione di variabili, trasformata di Fourier, principio di sovrapposizione, metodo di Duhamel...). Successivamente si presentano i primi elementi della teoria delle soluzioni deboli in spazi di Sobolev, per problemi ai limiti per equazioni ellittiche, preceduti dalla necessaria introduzione degli spazi di Sobolev hilbertiani e dei problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert. Un paio di capitoli più discorsivi e meno tecnici contengono l'uno la classificazione delle EDP lineari del second'ordine nei tipi ellittico, parabolico, iperbolico, l'altro un'introduzione alle relazioni tra la probabilità e le EDP. Il corso è pensato per studenti che oltre ai corsi matematici di base hanno seguito

'Matematica per le scienze' è un libro destinato a chi affronta corsi universitari che toccano un ampio spettro di argomenti matematici, anche quando la matematica non è il fulcro del corso di studi. È un'opera ricca ma flessibile, pensata anche per un uso modulare, adattabile a percorsi ed esigenze diversi. I primi quattro capitoli presentano - dopo una ripresa del linguaggio matematico di base (numeri, insiemi, operazioni, funzioni, grafici, limiti) - il calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di variabile reale, argomenti al cuore della maggior parte dei corsi di matematica generale e fondamentali per affrontare i capitoli successivi, che proseguono invece in direzioni diverse e mantengono tra loro una certa indipendenza. I capitoli dal 5 al 9 sono dedicati rispettivamente all'algebra lineare, con cenni di geometria analitica, alle equazioni differenziali ordinarie, ai rudimenti di calcolo infinitesimale in più variabili, al calcolo delle probabilità e alla statistica (descrittiva e inferenziale). La presentazione dei contenuti segue il criterio dell'essenzialità, sottolineando i concetti importanti e il loro ruolo nella formalizzazione matematica, con attenzione ai prerequisiti necessari alla comprensione, richiamati ed esplicitati per colmare eventuali lacune nella preparazione di base. L'apparato dimostrativo proprio del metodo matematico è stato comunque mantenuto, perché la giustificazione del risultato rende consapevoli dei nessi logici e aiuta a capire. Il ruolo della matematica nella modellizzazione dei problemi scientifici è messo in luce anche d

Il libro nasce dalla rielaborazione del materiale preparato per alcuni corsi di Metodi Matematici per l'Ingegneria e di Elementi di Analisi Funzionale e Trasformate tenuti al Politecnico di Milano negli ultimi anni e può essere utilizzato per costruire corsi di tipo diverso, scegliendo opportunamente dai vari capitoli. Il testo ha come solo prerequisito l'analisi matematica tradizionalmente insegnata nei corsi di base di ingegneria e presenta anzitutto gli argomenti istituzionali dell'analisi matematica superiore: generalità sugli spazi vettoriali normati, convergenza uniforme, spazi di funzioni continue, misura e integrale di Lebesgue, spazi di funzioni integrabili, generalità su operatori e funzionali lineari continui, spazi di Hilbert, teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa. Seguono poi argomenti più operativi e ricchi di applicazioni: i metodi di ortogonalità, per questioni di approssimazione o di risoluzione di problemi differenziali, le trasformate integrali di Fourier e di Laplace, con un certo ventaglio di applicazioni, i primi elementi della teoria delle distribuzioni, con applicazioni alla teoria dei filtri. Le applicazioni fisico-matematiche o fisico-ingegneristiche presenti nel testo sono numerose e scelte da settori diversi. Il testo è costruito con una certa modularità. Ad esempio, l'eventuale esclusione della teoria delle funzioni di variabile complessa dal programma del corso non pregiudica la comprensione delle altri parti del libro. Della maggior parte dei risultati enunciati nel testo è fornita una dimostrazione, per altri sono dati rifer

Questa edizione di 'Analisi matematica' è arricchita con elementi di geometria e algebra lineare. Gli autori hanno pensato un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche il giusto spazio all'approfondimento grazie ai rigorosi criteri didattici adottati: il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l'obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali di analisi matematica, geometria e algebra lineare. Equilibrio tra sinteticità e chiarezza: la giustificazione del risultato, quando non richieda un apparato formale troppo pesante, rende più consapevoli dei nessi logici. Motivazione: ogni nuovo concetto è introdotto attraverso esempi tratti dalle applicazioni più comuni e la teoria è accompagnata costantemente con riferimenti a problemi tratti da altre scienze, evidenziando il ruolo dello strumento matematico nella modellizzazione. Nessuna separazione tra 'teoria' e 'pratica': esempi, esercizi e applicazioni sono costantemente alternati alla presentazione teorica. Modularità: si è mantenuta la massima indipendenza possibile tra gli argomenti trattati, compatibilmente con la struttura logica del discorso matematico. Questo volume è completato da un capitolo finale su coniche e quadriche.

Questo testo raccoglie esercizi adatti a corsi di Analisi Matematica 2 per la Laurea in Ingegneria o affini. Si tratta perlopiù di esercizi tratti da temi d'esame assegnati negli ultimi dieci anni al Politecnico di Milano. Caratteristiche del libro: Oltre 700 esercizi di Analisi Matematica 2, suddivisi per argomento, Esercitazioni di Analisi Matematica 2 con svolgimento completo oppure con le soluzioni. Un centinaio di esempi guida, svolti e commentati dettagliatamente, per introdurre gli argomenti più importanti. Numerose osservazioni didattiche e puntualizzazioni per illustrare i punti più delicati e prevenire gli errori più comuni. Ampio spazio ad esercizi ed esempi rivolti alle applicazioni fisiche degli argomenti di analisi. Questo volume quindi non è solo una raccolta di esercizi, ma un percorso di esercitazioni, mirato ad aiutare specialmente lo studente che, per qualunque motivo, non ha seguito bene lezioni o esercitazioni e deve perciò affrontare l'esame da autodidatta. Naturalmente, lo studio del libro di testo rimane un presupposto.

Questo testo raccoglie esercizi adatti a corsi di Analisi Matematica 1 per la Laurea in Ingegneria o affini. Si tratta perlopiù di esercizi tratti da temi d'esame assegnati negli ultimi dieci anni al Politecnico di Milano. Caratteristiche del libro: Oltre 1200 esercizi di Analisi Matematica 1, suddivisi per argomento, con svolgimento completo oppure con le soluzioni. Più di 120 esempi guida, svolti e commentati dettagliatamente, per introdurre gli argomenti più importanti. Numerose osservazioni didattiche e puntualizzazioni per illustrare i punti più delicati e prevenire gli errori più comuni. Questo volume quindi non è solo una raccolta di esercizi, ma un percorso di esercitazioni, mirato ad aiutare specialmente lo studente che, per qualunque motivo, non ha seguito bene lezioni o esercitazioni e deve perciò affrontare l'esame da autodidatta. Naturalmente, lo studio del libro di testo rimane un presupposto.

Questo libro vuole far incontrare due 'parenti' che si parlano poco: la matematica della bellezza, che appare in alcuni libri divulgativi o conferenze, e la matematica della fatica, che molti studenti conoscono bene. Con l'acquisizione di un metodo di studio adeguato, meglio se attraverso esempi belli e interessanti, è possibile superare le difficoltà di questa materia e giungere ad apprezzarne la bellezza. 'Matematica. Questione di metodo' serve per prepararsi allo studio della matematica nei corsi universitari e può essere usato durante gli ultimi anni della scuola secondaria o all'inizio dell'università, per lo studio individuale o per corsi di orientamento. La prima parte è dedicata alla lingua matematica: cosa significano e come si utilizzano espressioni quali 'ogni', 'esiste', 'implica', 'è falso', come si lavora con gli indici, cos'è una sommatoria, come si ragiona per induzione. La seconda parte affronta alcuni problemi specifici dello studio di un testo universitario di matematica: comprendere una definizione, capire un'idea e applicarla in nuovi problemi, correggere un ragionamento lievemente errato, discutere idee per risolvere un problema, saper ripetere una dimostrazione. La trattazione di questi argomenti è condotta attraverso esercizi nei quali è più importante il tipo di ragionamento richiesto che l'argomento su cui verte l'esercizio stesso.

Gli autori Marco Bramanti è professore associato di Analisi matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. I suoi interessi di ricerca vertono sulle equazioni alle derivate parziali e sull?analisi reale, in particolare sulla teoria degli integrali singolari. Carlo Domenico Pagani è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Ha svolto attività didattica e di ricerca presso l?Università della California (Berkeley), l?Accademia delle Scienze (Russia), l?Accademia Sinica (Cina), il Tata Institute for Fundamental Research (India). Si interessa principalmente di equazioni alle derivate parziali e di problemi inversi. Sandro Salsa è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Ha svolto attività di ricerca presso l?Università del Minnesota (Minneapolis), il Courant Institute (New York), l?Institute for Advanced Study (Princeton) e l?Università del Texas (Austin). Si occupa principalmente di equazioni a derivate parziali e problemi di frontiera libera. Insieme sono autori anche diMatematica ? calcolo infinitesimale e algebra lineare (Zanichelli, 2004) e di Analisi matematica 1 (Zanichelli, 2008). L?opera Analisi matematica di Bramanti, Pagani e Salsa è un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche il giusto spazio all?approfondimento grazie ai rigorosi criteri didattici adottati: * Il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l?obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenut

'Analisi matematica' di Bramanti, Pagani e Salsa è un corso per la formazione di base che riesce a conferire anche spazio all'approfondimento grazie ai criteri didattici adottati: Il minimo di astrazione necessaria viene inserita per raggiungere l'obiettivo di conoscere, comprendere e saper utilizzare i contenuti fondamentali dell'analisi matematica. Equilibrio tra sinteticità e chiarezza: la giustificazione del risultato, quando non richieda un apparato formale troppo pesante, rende più consapevoli dei nessi logici. Motivazione: ogni nuovo concetto è introdotto attraverso esempi tratti dalle applicazioni più comuni e la teoria è accompagnata costantemente con riferimenti a problemi tratti da altre scienze, evidenziando il ruolo dello strumento matematico nella modellizzazione. Nessuna separazione tra 'teoria' e 'pratica': esempi, esercizi e applicazioni sono costantemente alternati alla presentazione teorica. Modularità: si è mantenuta la massima indipendenza possibile tra gli argomenti trattati, compatibilmente con la struttura logica del discorso matematico.

Questo testo raccoglie esercizi adatti a corsi del tipo «Elementi di Analisi Matematica 1 e Algebra Lineare» e «Analisi Matematica 2», per la laurea di primo livello in Ingegneria. Si è seguita l'impostazione del libro di testo: Bramanti-Pagani-Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e alge- bra lineare, Zanichelli (Seconda edizione). L'eserciziario può comunque essere utilizzato indipendentemente da quale sia il libro di testo seguito. Gli esercizi, prevalentemente tratti da temi d'esame degli ultimi anni, sono qui raggruppati per argomenti. Di molti di essi è fornito lo svolgimento completo; di tutti gli altri sono fornite le soluzioni. Questa seconda edizione contiene oltre 1000 esercizi, di cui più di 400 sono stati aggiunti rispetto alla prima edizione.

Gli autori Marco Bramanti è professore associato di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. I suoi interessi di ricerca vertono sulle equazioni alle derivate parziali e sull?analisi reale, in particolare sulla teoria degli integrali singolari. Carlo Domenico Pagani è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Ha svolto attività didattica e di ricerca presso l?Università della California (Berkeley), l?Accademia delle Scienze (Russia), l?Accademia Sinica (Cina), il Tata Insitute for Fundamental Research (India). Si interessa principalmente di equazioni alle derivate parziali e di problemi inversi. Sandro Salsa è professore ordinario di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Ha svolto attività di ricerca presso l?Università del Minnesota (Minneapolis), il Courant Institute (New York), l?Institute for Advanced Study (Princeton), e l?Università del Texas (Austin). Si occupa principalmente di equazioni a derivate parziali e problemi di frontiera libera. L?opera Gli autori hanno concentrato il discorso teorico intorno ad alcune idee-chiave, delle quali hanno inteso trasmettere una comprensione anche operativa. Il testo, infatti, è stato costruito in funzione del raggiungimento, da parte degli studenti, di alcune conoscenze e competenze irrinunciabili nel campo della matematica: * il linguaggio e i concetti di base dell?algebra lineare; * il calcolo differenziale, in una o più variabili, e il suo utilizzo per problemi di massimo e di

Questo eserciziario raccoglie il testo e lo svolgimento dettagliato di tutti gli esercizi contenuti nel libro 'Bramanti: calcolo delle probabilità e statistica' e può essere consultato autonomamente rispetto al libro di testo, di cui comunque segue l'impostazione

Qualsiasi corso universitario di matematica che contenga anche i primi elementi di calcolo infinitesimale (si chiami 'Analisi matematica I', 'Matematica A', 'Istituzioni di Matematiche', o in qualsiasi altro modo), contiene al suo interno una marcia di avvicinamento, tradizionalmente piuttosto lunga, in cui si inducono il linguaggio, gli strumenti, gli oggetti, che si utilizzano in seguito; parallelamente, spesso nelle esercitazioni, si richiamano e consolidano le proprietà delle funzioni elementari (esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse...). Il confine tra i contenuti 'nuovi' di queste parti introduttive e i cosiddetti 'prerequisiti' è spesso sfumato, e in realtà lo studente deve, al tempo stesso, richiamare alla mente cose studiate a scuola e acquisirne di nuove. Spesso le prime settimane del corso richiedono perciò allo studente un grosso lavoro personale, che solo parzialmente può essere guidato dalle lezioni. Questo libro è scritto per aiutare lo studente ad affrontare in modo costruttivo lo studio di queste prime, cruciali, settimane del corso, e per aiutare lo studente che scopra, a posteriori, di avere gravi lacune di base, a colmarle in modo autodidatta. Qui si forniscono quelle conoscenze, riguardanti soprattutto le funzioni elementari e i grafici di funzioni in generale, che sono necessarie per affrontare lo studio del calcolo infinitesimale in una variabile in modo fruttuoso e motivato. Numerosi esercizi sono assegnati nel testo; di tutti è riportata la soluzione nelle ultime pagine del libro, in modo che il lavoro personale possa aver

Questo testo è stato scritto per un corso di calcolo delle probabilità e statistica rivolto a studenti delle facoltà di Ingegneria. L'esigenza da cui è nato il testo è quella di fornire un'introduzione elementare molto sintetica a queste discipline toccando argomenti di calcolo delle probabilità, statistica descrittiva e statistica inferenziale. La statistica descrittiva è trattata come primo argomento. Lo scopo è introdurre il concetto di variabile che sarà sviluppato più tardi mediante quello di variabile aleatoria, cominciare a familiarizzare con i concetti di media e varianza e introdurre la nozione di correlazione tra variabili e retta di regressione: questi ultimi sono argomenti che in un corso così breve sarebbero altrimenti del tutto sacrificati. Parlarne da un punto di vista descrittivo è quindi un compromesso tra il parlarne dal punto di vista della statistica inferenziale e non parlarne del tutto. La Combinatoria è un argomento che in un corso simile non può essere considerato 'prerequisito' perciò i concetti elementari del calcolo combinatorio sono stati introdotti non come argomento a se stante ma in relazione ai problemi della probabilità classica. La probabilità è introdotta in spazi discreti e tutte le proprietà algebriche della probabilità di eventi sono sviluppare in questo contesto: questo consente di non citare neppure il concetto di 'sigma algebra degli eventi', senza perdere di rigore. Si introducono quindi le variabili aleatorie discrete come funzioni definite su una spazio campionario discreto. Solo dopo aver sviluppato una certa confidenza con le va