In algebra e geometria algebrica i moduli di sizigie di un ideale e di un modulo sono oggetto continuo di studio e ricerca. Risultati classici riguardano i moduli finitamente generati su anelli locali noetheriani con identità, ma negli ultimi anni sono stati ottenuti risultati interessanti nel caso in cui l'anello base è un anello di polinomi su un campo. La monografia richiama i principali teoremi su moduli di sizigie su anelli locali, rivisitati e arricchiti di spunti di ricerca.

Fondamentali invarianti numerici di un anello locale noetheriano R o di un R-modulo finitamente generato possono essere letti via proprietà di associati complessi di moduli, tra i quali spicca il famoso complesso di Koszul per il calcolo della depth di un modulo. La presente monografia evidenzia questa connessione tra l'algebra commutativa e l'algebra omologica, in particolare nello studio dell'algebra simmetrica di un modulo e dei complessi di approssimazione.

Il modello di Herbrandt è un modello standard che permette di dimostrare teoremi importanti in Logica dei Predicati, quando non si possa disporre di un esempio concreto di modello per la soddisfacibilità di una formula, è di solito infinito,ossia con supporto (insieme universo) di cardinalità infinita, se nella formula considerata compare almeno una funzione di Skolem. Ciò non diminuisce tuttavia la sua importanza, poichè è possibile trovare basi di Herbrand per la soddisfacibilità. Infatti esempi di formule non valide si trovano di solito prendendo in esame insiemi di supporto di piccola cardinalità (2 elementi). Nel Capitolo 1 di questo lavoro si studia il modello di Herbrandt e la proprietà del modello numerabile, in connessione col modello di Herbrandt. Il Capitolo 2 è dedicato allo studio dei tableaux infiniti della logica dei predicati ed alla loro modellizzazione matematica con grafi infiniti.Il risultato cruciale è che la logica fornisce una nuova classe di grafi il cui studio è molto interessante dal punto di vista matematico.

Nel calcolo dei predicati del primo ordine l'argomento centrale è il problema della soddisfacibilità di una formula o di un insieme di formule. Il principale scopo è dare criteri di soddisfacibilità ed algoritmi per la costruzione di un modello. In questa direzione, il linguaggio scelto sarà il protagonista, nel senso che la soddisfacibilità è strettamente legata al linguaggio considerato e, più il linguaggio sarà povero, più saranno le possibilità di avere formule valide o soddisfacibili. In questo lavoro si studiano due procedure logiche per la soddisfacibilità: la ricerca degli avatars di una formulae la ricerca dei testimoni di Henkin di una teoria. La prima procedura è un algoritmo utile a costruire un modello per la formula considerata, la seconda ha per finalità la dimostrazione del teorema di Gäodel sull'esistenza di un modello per ogni teoria non contraddittoria del 1° ordine. Nell'appendice si danno le definizioni fondamentali sul tipo di similarità di un linguaggio corredate da esempi, si introducono e si studiano i fondamentali linguaggiprovenienti dall'algebra e dalla geometria. Riterremo note le nozioni fondamentali del calcolo dei predicati del primo ordine.